Théorème de Pythagore
Calculez l'hypoténuse ou un côté d'un triangle rectangle, ou vérifiez qu'un triangle est rectangle, avec le calcul pas à pas.
Unité
Valable uniquement dans un triangle rectangle. L'hypoténuse c est le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long.
Hypoténuse c
Angle opposé à a
Angle opposé à b
Aire du triangle
Périmètre
c = √(a² + b²)
- c² = a² + b²
- c² = 3² + 4²
- c² = 9 + 16 = 25
- c = √25 = 5
Énoncé du théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est toujours le plus long des trois.
c² = a² + b²
On en tire deux calculs : l'hypoténuse c = √(a² + b²), et un côté de l'angle droit b = √(c² − a²).
Conditions d'application
- Le triangle doit être rectangle, et l'on doit savoir où se trouve l'angle droit.
- L'hypoténuse est toujours plus longue que chacun des deux autres côtés : un calcul qui donne l'inverse signale une erreur de saisie.
- Dans un triangle quelconque, le théorème ne s'applique pas. On utilise alors la loi des cosinus (formule d'Al-Kashi) : c² = a² + b² − 2ab × cos γ, qui redonne Pythagore quand γ = 90°.
Exemples vérifiés
Côtés de l'angle droit de 3 cm et 4 cm : quelle hypoténuse ?
- c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- c = √25 = 5
L'hypoténuse mesure 5 cm.
Une échelle de 5 m posée à 1,50 m du pied d'un mur : à quelle hauteur arrive-t-elle ?
- L'échelle est l'hypoténuse : h² = 5² − 1,5²
- h² = 25 − 2,25 = 22,75
- h = √22,75 ≈ 4,77
L'échelle atteint environ 4,77 m de hauteur, si le sol est horizontal et le mur vertical.
La réciproque : vérifier un angle droit
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle. Avec 6, 8 et 10 : 10² = 100 et 6² + 8² = 36 + 64 = 100, le triangle est rectangle. C'est la « règle du 3-4-5 » des maçons pour tracer un angle droit au cordeau.
Avec des mesures arrondies, l'égalité n'est jamais parfaite : 1 ; 1 ; 1,414 donne 1,999396 contre 2. La calculatrice répond « non » au sens strict, mais signale quand l'écart est infime.
Erreurs fréquentes
- Additionner les carrés pour trouver un côté de l'angle droit : il faut soustraire (c² − a²).
- Oublier la racine carrée à la fin : c² = 25 donne c = 5, pas 25.
- Prendre l'hypoténuse pour un côté de l'angle droit.
- Mélanger les unités (cm et m) entre les côtés.
Pour l'aire et le périmètre du triangle obtenu, ou d'autres figures, utilisez la calculatrice aires et périmètres.
Théorème de Pythagore : ce qu'il faut savoir
Le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur qu'on ne peut pas mesurer directement : la diagonale d'un écran, la hauteur atteinte par une échelle, la longueur d'un rampant de toit. Sa réciproque sert à vérifier qu'un angle est droit, comme le font les maçons avec la règle du 3-4-5. Cet outil couvre les trois cas et dessine le triangle à l'échelle, avec les carrés construits sur chaque côté.
Questions fréquentes
Des questions sur cette calculatrice ? Toutes nos calculatrices sont gratuites, sans inscription, et chaque barème utilisé est daté et sourcé sur la page Sources.
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